Тема взаимное расположение двух окружностей. Урок на тему: "Взаимное расположение двух окружностей на плоскости.". Формирование умений и навыков

Пусть даны окружность и точка не совпадающая с ее центром С (рис. 205). Возможны три случая: точка лежит внутри окружности (рис. 205, а), на окружности (рис. 205, б), вне окружности (рис. 205, в). Проведем прямую она пересечет окружность в точках К и L (в случае б) точка совпадет с из которых одна будет ближайшей к точке сравнению со всеми другими точками окружности), а другая - наиболее удаленной.

Так, например, на рис. 205, а точка К окружности - ближайшая к . В самом деле, для любой другой точки окружности ломаная длиннее отрезка САГ: но и потому Напротив, для точки L найдем (снова ломаная длиннее отрезка прямой). Разбор остальных двух случаев предоставляем читателю. Заметим, что наибольшее расстояние равно наименьшее если или если .

Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей (рис. 206).

а) Центры окружностей совпадают (рис. 206, а). Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой. В случае равенства радиусов они совпадают.

б) Пусть теперь центры окружностей различны. Соединим их прямой, она называется линией центров данной пары окружностей. Взаимное расположение окружностей будет зависеть только от соотношения между величиной отрезка d, соединяющего их центры, и величинами радиусов окружностей R, г. Все возможные существенно различные случаи представлены на рис. 206 (считаем ).

1. Расстояние между центрами меньше разности радиусов:

(рис. 206, б), малая окружность лежит внутри большой. Сюда же можно отнести и случай а) совпадения центров (d = 0).

2. Расстояние между центрами равно разности радиусов:

(рис. 206, s). Малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на линии центров (говорят, что имеет место внутреннее касание).

3. Расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы:

(рис. 206, г). Каждая из окружностей лежит частично внутри, частично вне другой.

Окружности имеют две точки пересечения К и L, расположенные симметрично относительно линии центров . Отрезок - общая хорда двух пересекающихся окружностей. Он перпендикулярен к линии центров.

4. Расстояние между центрами равно сумме радиусов:

(рис. 206, д). Каждая из окружностей лежит вне другой, но они имеют общую точку на линии центров (внешнее касание).

5. Расстояние между центрами больше суммы радиусов: (рис. 206, е). Каждая из окружностей целиком лежит вне другой. Окружности не имеют общих точек.

Приведенная классификация полностью вытекает из разобранного. выше вопроса о наибольшем и наименьшем расстоянии от точки до окружности. Следует лишь рассмотреть на одной из окружностей две точки: самую близкую и самую далекую от центра второй окружности. Например, разберем случай По условию . Но наиболее отдаленная от О точка малой окружности находится от центра О на расстоянии Поэтому вся малая окружность лежит внутри большой. Так же рассматриваются и остальные случаи.

В частности, если радиусы окружностей равны, то возможны только три последних случая: пересечение, внешнее касание, внешнее расположение.

Класс 7Ж, З

Тема урока: «Взаимное расположение двух окружностей»
Цель: знать возможные случаи взаимного расположения двух окружностей; применять знания при решении задач.

Задачи: Образовательные: способствовать созданию и закреплению у учащихся наглядного представления о возможных случаях расположения двух окружностей, учащиеся будут уметь:

Устанавливать связь между взаимным расположением окружностей, их радиусами и расстоянием между их центрами;

Анализировать геометрическую конструкцию и мысленно видоизменять ее,

Развивать планиметрическое воображение.

Учащиеся будут уметь применять теоретические знания к решению задач.

Тип урока: урок введения и закрепления новых знаний материала.

Оборудование: презентация к уроку; циркуль, линейку, карандаш и учебник у каждого ученика.

Учебное пособие: . «Геометрия 7 класс », Алматы «Атамұра» 2012

Ход урока.

Организационный момент. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация опорных знаний.

Повторить определения окружности, круга, радиуса, диаметра, хорды, расстояние от точки до прямой.

1) 1) Какие случаи расположения прямой и окружности вам известны?

2) Какая прямая называется касательной?

3) Какая прямая называется секущей?

4) Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде?

5) Как проходит касательная по отношению к радиусу окружности?

6) Заполнить таблицу (на карточках).

Учащиеся под руководством учителя решают и разбирают задачи.

1)Прямая а - касательная к окружности с центром О. На прямой а дана точка А. Угол между касательной и отрезком ОА равен 300.Найдите длину отрезка ОА, если радиус равен 2,5м.

2) Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:

1. R=16cм, d=12см 2. R=5см, d=4,2см 3. R=7,2дм, d=3,7дм 4. R=8 см, d=1,2дм 5. R=5 см, d=50мм

а) прямая и окружность не имеют общих точек;

б) прямая является касательной к окружности;

в) прямая пересекает окружность.

d-расстояние от центра окружности до прямой, R - радиус окружности.

3) Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 10,3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 4,15 см; 2 дм; 103 мм; 5,15 см, 1 дм 3 см.

4) Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна: а) 4 см; б) 10 см; в) 70 мм.

4. Вместе с учащимися выяснить тему урока, сформулировать цели урока.

5. Введение нового материала.

Практическая работа в группах.

Построить 3 окружности. К каждой окружности построить ещё по одной окружности, так, чтобы 1) 2 окружности не пересекались, 2) 2 окружности касались,3) две окружности пересекались. Найдите радиус каждой окружности и расстояние между центрами окружностей, сравним результаты. Какой можно сделать вывод?
2) Обобщить и записать в тетрадь, случаи взаимного расположения двух окружностей.

Взаимное расположение двух окружностей на плоскости.

Окружности не имеют общих точек (не пересекаются). (R1 и R2 – радиусы окружностей)

Если R1 + R2 < d,

d – Расстояние между центрами окружностей.

в) Окружности имеют две общие точки. (пересекаются).

Если R1 + R2 > d,

Вопрос. Могут ли две окружности иметь три общие точки?

6. Закрепление изученного материала.

Найдите ошибку в данных или в утверждении и исправьте ее, обосновав свое мнение:
А) Две окружности касаются. Радиусы их равны R = 8 см и r = 2 см, расстояние между центрами d = 6.
Б) Две окружности имеют, по крайней мере, две общие точки.
В) R = 4, r = 3, d = 5. Окружности не имеют общих точек.
Г) R = 8, r = 6, d = 4. Меньшая окружность расположена внутри большей.
Д) Две окружности не могут располагаться так, что одна находится внутри другой.

7. Итоги урока. Чему научились на уроке? Какую закономерность установили?

Как могут располагаться две окружности? В каком случае окружности имеют одну общую точку? Как называется общая точка двух окружностей? Какие касания вам известны? Когда окружности пересекаются? Какие окружности называются концентрическими?