Элементарные функции. Презентация функции и их графики Презентация на тему функция график функции
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
«Функции и графики» Презентация к уроку ГБОУ НПО Профессиональный лицей №80 Преподаватель математики Савицкая Галина Ивановна
«Функции и графики» 1. Что такое функция? Определение 2. Графики элементарных функций 3. Свойства функции 5. Преобразование графиков функций Упражнения: Указать свойства функции 4. Как построить график по заданным свойствам функции
Пусть есть множества X и Y . Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу сопоставлен единственный элемент y из множества Y , то говорят, что задана функция у = f(x) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Х У Y X 1 y 1 X 2 y 2 X 3 y 3 X 4 y 4 X f (закон)
Говорят, что у есть функция от х y=f(x) При этом: Х = – область определения функции ООФ или D(y) у – множество значений функции МЗФ или E(y) Х – независимая переменная или аргумент Y – зависимая переменная или функция
1) Формулой х 1 2 3 4 5 у 1 8 15 20 22 Способы задания функции у = х 2 + 2х – 4 у = 3х f(x) = log 2 (3x+4) f(x) = COS 2x 2) Таблицей
У= f (х) У Х 0 ось ординат ось абсцисс начало координат Способы задания функции 3) Графиком 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3
У= f (х) У Х 0 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 А(-2;1) В(1;-2) М(х; У) Графиком функции У= f (х) называется множество точек координатной плоскости имеющих координаты (х; f (х)) или (х; У)
1. Линейная функция Графики элементарных функций у х У = х у = 2х у = - х y = к х + в к – угловой коэффициент 0 y = х к=1 y = 2 х к=2 y = - х к=-1 y = ½ х к = ½ 1 1 2 -1 y = ½ х
1. Линейная функция: Графики элементарных функций у х y = к х + в к – угловой коэффициент 0 y = х +2 y = х -2 1 1 2 -1 у = х-2 у = х+2 y = х -2
1. Линейная функция: Графики элементарных функций у х y = к х + в к – угловой коэффициент 0 y = х y = 2 х = 3 1 1 1 2 -1 -2 3 2 3 y = 2 Х = 3
2. Квадратичная функция у=ах 2 + b х + с Графики элементарных функций 0 у х х 0 у 0 парабола Координаты вершины параболы: х 0 = - b 2а у 0 = а (х 0) 2 + b х 0 + с если а > 0 Ветви параболы направлены вверх если а 0 а
Кубическая функция: у=ах 3 + b х 2 + сх + d Графики элементарных функций кубическая парабола у х 0 у=х 3 1 1 -1 -1 у=х 3
4. Обратно пропорциональная функция: У= Графики элементарных функций гипербола к х у х 0 1 -1 1 -1 у х 0 1 -1 1 -1 у = 1 х у = - 1 х
5. Модульная функция: у = | х | Графики элементарных функций у х 0 1 1 -1
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Y = f (x) У х 0 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 7 а 8 а 9 в 1 в 2 в 3 в 4
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 1 а 9 1 . Область определения функции – это множество значений аргумента Х при которых существует функция ООФ: Х є [ а 1 ; а 9 ]
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 в 1 в 4 2 . Множество значений функции – это множество всех чисел, которые может принимать у МЗФ: у є [ в 4 ; в 1 ]
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 3. Корни (или нули) функции – это такие значения х, при которых функция равна нулю (у=0) f (x) = 0 при Х = а 2 ; а 4 ; а 6 ; а 8
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 1 а 2 а 4 а 6 а 8 а 9 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у 0 при Х є (а 1 ; а 2); (а 4 ; а 6); (а 8 ; а 9)
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 а 9 5 . Монотонность функции – это участки возрастания и убывания функции Функция возрастает при Х є [ а 3 ; а 5 ] ; [ а 7 ; а 9 ] а 1 Функция убывает при Х є [ а 1 ; а 3 ] ; [ а 5 ; а 7 ]
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 в 2 в 3 в 4 Экстремумы функции F max (x) F min (x) F min (x) F max (х) = в 2 в точке экстремума х = а 5 F min (х) = в 3 в точке экстремума х = а 3 F min (x) = в 4 в точке экстремума х = а 7
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) у х 0 а 7 а 9 в 1 в 4 7. Наибольшее и наименьшее значения функции (это самая высокая и самая низкая точки на графике функции) наибольшее значение F (х) = в 1 в точке х = а 9 наименьшее значение F (x) = в 4 в точке х = а 7
у х F(x) = x 2 у х F(x) = cos x х 0 0 Х -Х СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется четной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = f(- x) График четной функции симметричен относительно оси У f(x) Х -Х f(x)
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется нечетной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = - f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат у х 0 у=х 3 х f(x) - f(x) - х у х 0 у = 1 х 1 -1 1 -1
2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 у -2 -4 у= f (х) Т = 4 Периодичность функций Если рисунок графика функции повторяется, то такая функция называется периодической, а длина отрезка по оси Х называется периодом функции (T) Периодическая функция подчиняется правилу f(x) = f(x+T) СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
2 2 4 6 х -2 -4 -6 0 4 6 у -2 -4 -6 у= f (х) Т = 6 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Функция y=f(x) - периодическая с периодом Т = 6
1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции 1) ООФ 2) МЗФ 3) Нули функции 4) Функция положительная Функция отрицательная 5) Функция возрастает Функция убывает 6) Экстремумы функции F max (х) F min (х) 7) Наибольшее значение функции Наименьшее значение функции у= f (х)
1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции у= f (х)
2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 у -2 -4 -6 -8 Указать свойства функции у= f (х)
2 2 х -2 0 у -2 Указать свойства функции у= f (х)
3 3 х -1 0 у -1 -4 -5 Построить график функции Дано: а) Область определения – есть промежуток [-4;3] б) Значения функции составляют промежуток [- 5 ;3] в) Функция убывает на промежутках [-4; 1 ] и [ 2 ;3] возрастает на промежутке [- 1 ; 2 ] г) Нули функции: -2 и 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Зная график элементарной функции, например f(x) = x 2 можно построить график «сложной» функции, например f(x) = 3(x +2) 2 - 16 с помощью правил преобразования графиков
Правила преобразования графиков 1 правило: Смещение вдоль оси Х Если к аргументу Х прибавить или отнять число, то график сместится влево или вправо по оси Х f(x) f(x ± a) преобразовать в 0 у х 0 у х 4 -4 F(x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2
Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) =Х ± a преобразовать в Правила преобразования графиков 2 правило: смещение вдоль оси У у х 4 - 4 0 у х F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4
Если аргумент Х умножить или разделить на число К, то график сожмется или растянется в К раз по оси Х f(x) f(к· x) преобразовать в Правила преобразования графиков 3 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси Х у х F(x) = sin x F(x) = sin 2x
Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) ± a преобразовать в у х F(x) = sin x F(x) = sin х 2 Правила преобразования графиков 3 правило: C жатие (растяжение) графика вдоль оси Х
Если функцию умножить или разделить на число К, то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = cos x 1 2
Если функцию умножить или разделить на число К, то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = 2cos x
Если перед функцией изменить знак на противоположный, то график симметрично перевернется относительно оси Х f(x) - f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 5 правило: переворот графика относительно оси Х у х F(x) = x 2 F(x) = - x 2
В презентации представлены основные элементарные функции
Просмотр содержимого документа
«Презентация по теме "Элементарные функции и их графики"»
у х, х у.
Виды функций и построение графических образов:
1. Виды функций
- Степенная
- Показательная
- Логарифмическая
- Тригонометрическая
2. Построение графических образов
3. Тест
Виды функций
n – любое число
- Линейная
- Квадратичная
- Кубическая
- Гипербола
- Y=X 1/2 и Y=-X 1/2
- Y=X 1/3 и Y=-X 1/3
Степенная функция
Y=kX+b , где k и b любые числа
Y=ax 2 +bx+c , где a , b и с – любые числа, a ≠0
график квадратичной функции - парабола
Свойства функции Y=X 2 и Y= - X 2
- ООФ: (- ∞:∞)
- ОЗФ: [ 0;∞)
- Функция возрастает на промежутке
- Нули функции: Y=0 при х=0
- Y наим =0 при х=0
1. ООФ: (- ∞:∞)
2. ОЗФ: (-∞;0 ]
3. Функция возрастает на промежутке (- ∞;0 ] ; функция убывает на промежутке – сложение, [-] – вычитание, [*] – умножение, [:] – деление. Все те функции, которые можно получить из основных элементов с помощью арифметических операций называются элементарными функциями составляют класс элементарных функций.
Образование класса элементарных функций
Имея определенный набор базисных функций f1 , f2 ,f3 ,...fk и допустимых операций F1, F2, ... Fs над ними (их разрешается применять любое число раз), мы можем получать другие функции, подобно тому, как из деталей конструктора с помощью определенных правил их соединения можно получить разные модели. Класс всех получаемых таким образом функций обозначается так:
< f1,f2,...fk; F1,F2,...Fs>.
В частности, если принять за базисные все основные элементарные функции и допустить лишь арифметические операции, то получим класс элементарных функций. Беря в качестве базисных часть основных элементарных функций и допуская, возможно, лишь часть указанных операций, получим некоторые подклассы класса элементарных функций, некоторые семейства функций, порождаемые данным базисом и данными операциями. Вот несколько примеров таких семейств функций, где под (а) понимается операция умножения на любую константу:
Построение графиков
Для построения графика функции
у= 3х2 надо график функции у= х2 умножить на 3. В результате график функции у= х2 растянется в 3 раза вдоль оси ординат, а если у=0,3 х2 , то произойдет сжатие графика в 0,3 раза вдоль оси Оу. (приложение 8, 9).
Построение графиков
График функции у=3(х -4)2 можно получить, выполнив следующие действия:
- сложить графики тождественной функции у=х и константы у=-4, получим график функции у=х-4;
- перемножить графики функций у=х-4 и у=х-4, получим график функции у= (х -4)2 ;
- умножить у= (х -4)2 на 3, получим график функции у=3(х -4)2.
Или просто график функции у=3х2 сдвинуть по оси Ох на 4 единичных отрезка (Приложение10).
Преобразования исходного графика функции y= f(x).
Из вышесказанного можно сделать следующий вывод, что выполняя различные действия с графиками элементарных функций, мы выполняем преобразования этих графиков, а именно: параллельный перенос, симметрию относительно прямой Ох и прямой Оу.
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
2
слайд
Описание слайда:
Цели урока: Ознакомиться с понятием «функция», закрепить его на примерах Усвоить новые термины Узнать методы исследования функции Закрепить знания по теме при решении задач Научиться строить графики функций Коломина Н.Н.
3
слайд
Описание слайда:
Немного истории Слово "функция" (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые употребил в 1673 г. немецкий математик Лейбниц. Определения функции «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, cоставленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств» сделал в 1748 г. немецкий и российский математик Леонард Эйлер Коломина Н.Н.
4
слайд
Описание слайда:
Определение. «Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией». Символически функциональная зависимость между переменной у (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства Способы задания функций: табличный (таблица), графический(график), аналитический (формула). Коломина Н.Н.
5
слайд
Описание слайда:
Общая схема исследования функции 1. Область определения функции. 2.Исследование области значений функции. 3. Исследование функции на четность. 4.Исследование промежутков возрастания и убывания функции. 5. Исследование функции на монотонность. 5. Исследование функции на экстремум. 6. Исследование функции на периодичность. 7. Определение промежутков знакопостоянства. 8.Определение точек пересечения графика функции с осями координат. 9. Построение графика функции. Коломина Н.Н.
6
слайд
Описание слайда:
Область определения функции Областью определения (существования) функции называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение. Например, для функции у=х областью определения является множество всех действительных значений чисел R ; для функции у=1/х областью определения является множество R кроме х=0. Коломина Н.Н.
7
слайд
Описание слайда:
[-3;5] 0 х у 7 -5 [-5;7) [-5;7] (-3;5] Найдите область определения функции, график которой изображен на рисунке. 5 -3 Область определения функции – значения, которые принимает независимая переменная х. Коломина Н.Н.
8
слайд
Описание слайда:
Множество значений функции. Множеством значений функции называется множество всех действительных значений функции у, которые она может принимать. Например, множеством значений функции у= х+1 является множество R, множеством значений функции является множество действительных чисел, больше или равных 1. у= Х2 +1 Коломина Н.Н.
9
слайд
Описание слайда:
Найдите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. у х 0 -6 -4 6 6 (-4;6) [-6;6] (-6;6) [-4;6] Множество значений функции – значения, которые принимает зависимая переменная у. Коломина Н.Н.
10
слайд
Описание слайда:
Исследование функции на четность. Функция называется четной, если при всех значений х в области определения этой функции при изменения знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, т.е. . Например, парабола у= Х2 является четной функцией, т.к. (-Х2)= Х2 . График четной функции симметричен относительно оси оу. Коломина Н.Н.
11
слайд
Описание слайда:
На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. Укажите этот график. х х х х у у у у График симметричен относительно оси Oу 0 0 0 0 Коломина Н.Н.
12
слайд
Описание слайда:
Функция называется нечетной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, т.е. . Например, функция у= Х3 – нечетная, т.к. (-Х)3 = -Х3. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Свойством четности или нечетности обладает не всякая функция. Например, функция не является ни четной, ни нечетной: Х2+ Х3 (-Х)2+ (-Х)3 = Х2 – Х3; Х2 + Х3 Х2 – Х3; = / Коломина Н.Н.
13
слайд
Описание слайда:
х х х х у у у у На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот график. График симметричен относительно точки О. О О О О Коломина Н.Н.
14
слайд
Описание слайда:
Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими. Функция называется возрастающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство Определение промежутков возрастания и убывания /\ /\ Х2 /\ /\ 1 2 Функция называется убывающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и Х2, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство /\ /\ /\ 2 1 > Коломина Н.Н.
15
слайд
Описание слайда:
[-6;7] [-5;-3] U [-3;7] [-3;2] х 0 2 6 -5 7 -3 -6 -2 3 На рисунке изображен график функции y = f(x), заданной на промежутке (-5;6). Укажите промежутки, где функция возрастает. у Коломина Н.Н.
16
слайд
Описание слайда:
y х 1 2 4 0 Нуль функции – значение х, при котором y = 0. На рисунке – это точки пересечения графика с осью Ох. На рисунке изображен график функции y = f(x). Укажите количество нулей функции. 0 Коломина Н.Н.
17
слайд
Описание слайда:
18
слайд
Описание слайда:
Исследование функции на монотонность. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности. Например, функция у= Х2 при х 0 монотонно возрастает. Функция у= Х3 на всей числовой оси монотонно возрастает, а функция у= -Х3 на всей числовой оси монотонно убывает. /\ /\ Коломина Н.Н.
19
слайд
Описание слайда:
Исследовать функцию на монотонность Функция у=х2 Функция у=х2 при х<0 монотонно убывает, при х>0 монотонно возрастает х -2 -1 0 1 2 у 4 1 0 1 4 Коломина Н.Н.
20
слайд
Описание слайда:
Обратная функция Если функция принимает каждое свое значение только при единственном значении х, то такую функцию называют обратимой. Например, функция у=3х+5 является обратимой, т.к. каждое значение у принимается при единственном значении аргумента х. Напротив, функция у= 3Х2 не является обратимой, поскольку, например, значение у=3 она принимает и при х=1, и при х=-1. Для всякой непрерывной функции (такой, которая не имеет точек разрыва) существует монотонная однозначная и непрерывная обратная функция. Коломина Н.Н.
21
слайд
Описание слайда:
Диктант Найти область значений Исследовать промежутки возрастания и убывания функции. № Вариант-1 № Вариант-2 Найти область определения функции 1 1 2 2 Указать способ задания функции 3 3 Исследовать функцию на четность 4 4 5 5 х -2 -1 0 1 у 3 5 7 9 Коломина Н.Н.
22
слайд
Описание слайда:
Функции. 1. Линейная функция 2.Квадратичная функция 3.Степенная функция 4.Показательная функция 5.Догарифмическая функция 6. Тригонометрическая функция Коломина Н.Н.
23
слайд
Описание слайда:
Линейная функция y = kx + b k – угловой коэффициент b x y α 0 b – свободный коэффициент k = tg α Коломина Н.Н.
24
слайд
