Течение Пуазёйля. Идеальная жидкость. Законы Пуазейля и Стокса Течение пуазейля в круглой трубе

Оглавление

1. Постановка задачи

2. Уравнение неразрывности

4. Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

5. Течение Куэтта

6. Течение Пуазейля

7. Общий случай течения между параллельными стенками

8. Пример задачи

Постановка задачи

Ламинарные течения, некоторые из которых рассмотрены в данном курсовом проекте, встречаются в разнообразных технических задачах, в частности, в зазорах и малых полостях машин. В особенности при течении таких вязких жидкостей как масло, нефть, различные жидкости для гидропередач образуются устойчивые ламинарные течения, для описания которых надежной базой могут послужить уравнения Навье–Стокса. Течение Гартмана, подобное течению Пуазейля, применяется, к примеру, в МГД-насосах. В этом случае рассматривается плоское стационарное течение электропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечном магнитном поле.

Задача данного курсового проекта – рассмотрение и нахождение основных характеристик плоского стационарного ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости при параболическом распределении скоростей (течения Пуазейля).

Уравнение неразрывности

Закон сохранения массы для движущейся произвольным образом жидкости выражается уравнением неразрывности или сплошности, которое является одним из фундаментальных уравнений гидромеханики. Для его вывода проведем в жидкости фиксированную в пространстве замкнутую поверхность S, ограничивающую объем W, и выделим на ней элементарную площадкуdS.Черезn обозначим единичный вектор внешней к Sнормали. Тогда произведение сV n dSбудет представлять собой массу, вытекающую из объема Wили поступившую в него за единицу времени, в зависимости от направления скорости на площадкеdS.Так какnвнешняя нормаль, тоV п > 0 на тех площадкахdS, где жидкость вытекает из объема W, и V п < 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Это изменение массы можно подсчитать и иным способом. Для этого выделим элементарный объем dW. Масса жидкости в этом объеме может изменяться из-за неодинаковости притока и оттока. Секундное изменение массы в объеме dW будет равно а секундное изменение массы в объеме W выразится интегралом .

Получившиеся выражения можно приравнять, так как они дают одну и ту же величину. При этом следует учесть, что первый интеграл положителен, если через поверхность S вытекает жидкости больше, чем втекает, а второй при этом же условии – отрицателен, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом в рассматриваемом случае плотность уменьшается во времени .

По теореме Остроградского – Гаусса:

В векторном анализе сумма частных производных от проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождением вектора. В данном случае

поэтому уравнение (1) можно переписать в виде

Так как объем Wпроизвольный, подынтегральная функция равна нулю, т.е.

(2)

Уравнение (2) является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Соотношение (1) можно рассматривать как интегральную форму уравнения неразрывности.

Если будем рассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придем также к уравнению (2), которому в этом случае можно придать иной вид.

Поскольку с = с (x, y, z, t) и при движении жидкого объема х = х(t),

у = у (t), z =z (t), то

т. е. уравнение (2) будет иметь вид

(3)

гдеdс/dt- полная производная плотности.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости∂с/∂t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем

Для любого движения несжимаемой жидкости с = const и, следовательно

(5)

3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

Уравнение движения жидкости в напряжениях:

Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м. Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости (она косвенно подтверждается на практике), можно написать выражения для нормальных и касательных напряжений в вязкой жидкости:

(7)

Внося в уравнение (6) выражения (7), получим

Группируя члены со вторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:

Эти уравнения называются уравнениями Навье - Стокса; их используют для описания движений вязких сжимаемых жидкостей и газов.

Уравнения движения невязких жидкостей и газов легко получить из уравнений Навье - Стокса как частный случай при м=const; для несжимаемых жидкостей следует принять с = const.

Система уравнений Навье - Стокса незамкнута, так как содержит шесть неизвестных:V x , V y , V z , р, с и м. Еще одним уравнением, связывающим эти неизвестные, является уравнение неразрывности (3).

В качестве уравнений, замыкающих систему, используют уравнения состояния среды и зависимости вязкости от параметров состояния. Во многих случаях приходится применять также другие термодинамические соотношения.

Для несжимаемой жидкости divV = 0, получим выражения, напрямую следующие из системы (8)

В векторной форме уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости примет вид:

Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

Пусть вязкая жидкость течет в канале, образованном двумя параллельными стенками, одна из которых движется в своей плоскости с постоянной скоростью (см. рисунок).

а – схема течения; б – распределение скоростей при отсутствии градиента давления (течение Куэтта); в – распределение скоростей в случае неподвижных граничных плоскостей (течение в плоском канале).

Размер канала по направлению нормали к плоскости чертежа (вдоль оси z) считаем достаточно большим, чтобы можно было не учитывать влияние стенок, параллельных плоскости хОу. Кроме того, допускаем, что движение вызвано не только перемещением одной из стенок канала, но и перепадом (или градиентом) давления по направлению оси х. Влиянием массовых сил пренебрегаем, т.к. число Фруда мало из-за малости h, а линии тока считаем прямыми, параллельными оси х.

Тогда исходные условия задачи выражаем в виде:

Из уравнения неразрывности сразу заключим, что а поскольку это будет выполнено во всех точках, то и Ввиду отсутствия движения вдоль оси z все производные по этой координате также обратятся в нуль, и уравнение Навье-Стокса в проекции на ось z можно не писать.

Тогда система уравнений движения сведется к двум уравнениям:

Первое получается из проекции уравнения Навье-Стокса на координатную ось x, а второе из этих уравнений свидетельствует, что давление зависит только от х, т.е. p(y)=p(z)=0, и так как то можно перейти от частных производных к полным:

Обозначим , проинтегрируем это уравнение дважды, получим:

Так как в соответствии с рисунком и принятыми допущениями давление зависит только от координаты x. Для отыскания постоянных интегрирования и используем граничные условия:

Таким образом закон распределения скоростей в плоском канале запишется в виде:

(10)

Течение Куэтта

Течение Куэтта – безградиентное течение В этом случае единственной причиной движения служит перемещение пластины. Течение характеризуется линейным законом распределения скоростей (рис. б).

Касательное (вязкое) напряжение будет постоянным по толщине слоя, а величина удельного расхода, т.е. расхода через живое течение S=h·1, увлекаемого движущейся пластиной, равна:

6. Течение Пуазейля

Это случай напорного течения в плоском канале с параболическим распределением скоростей (рис. в). В соответствии с уравнением (10) получим:

Максимальная скорость на оси (при y=h/2) ввиду параболического распределения скоростей:

(12)

Разделив (11) на (12), получим закон распределения скорости

Нетрудно вычислить и другие характеристики течения. Касательное напряжение

На стенках, т.е при y=0 и при y=h, принимает максимальные значения

А на оси при y=h/2 обращается в нуль. Как видно из этих формул, имеет место линейный закон распределения касательных напряжений по толщине слоя

Удельный расход жидкости определится формулой

Средняя скорость

(13)

Средняя скорость будет в полтора раза меньше максимальной.

Проинтегрировав (13) по х, в предположении, что при х=0 давление р=р 0 * , получаем искомую разность давления:

Нетрудно также вычислить интенсивность вихревой составляющей движения. Поскольку в данном случае V y =V z =0 и V x =V, то

Учитывая, что dp/dx<0, мы получи:

· при y < h/2, щ z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· при y > h/2, щ z > 0, т.е. частицы вращаются против часовой стрелки (рис. в).

Таким образом, рассматриваемый поток является завихренным во всех точках, упорядоченные вихревые линии представляют собой прямые, нормальные плоскости течения.

Общий случай течения между параллельными стенками

Для этого случая характерно

Распределение скоростей определяется уравнением (10), где градиент давления dp/dx может быть как отрицательным, так и положительным. В первом случае давление падает в направлении скорости пластины V 0 , во втором – возрастает. Наличие положительного градиента давления может вызывать возвратные течения. Уравнение (10) удобно представить в безразмерной форме

которая графически изображается семейством кривых с одним параметром

Безразмерные профили скоростей для общего случая течения между параллельными стенками.

Пример задачи

Рассмотрим течение Пуазейля применительно к МГД-генератору.

Магнитогидродинамический генератор,МГД-генератор - энергетическая установка, в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды), движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию. Скорость движения вязкой среды может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой, выберем скорость равную V max =300 м/c. Пусть длина линейного канала будет равна 10 метров . Расстояние между обкладками, в которых протекает плазма, равно 1 метр . Максимальное значение вязкости плазмы примем 3·10 -4 Па·Чс=8,3·10 -8 Па·с .

Подставляя данные в формулу для разности давлений, учитывая, что средняя скорость в полтора раза меньше максимальной, получим:

Такова потеря давления при прохождении рабочего тела через линейный канал МГД-генератора.

Список используемой литературы

1. Бекнев В.С., Панков О.М., Янсон Р.А. – М.: Машиностроение, 1973г. – 389 с.

2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1978г. – 458 с.

3. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1987г. – 438 с.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm

8.5. Вязкость. Течение Пуазейля

До сих пор мы ничего не говорили о касательных напряжениях в жидкости или газе, ограничиваясь только изотропным давлением в рамках закона Паскаля. Оказывается, однако, что закон Паскаля является исчерпывающим лишь в гидростатике, а в случае неоднородных в пространстве течений вступает в игру диссипативный эффект - язкость, вследствие которого как раз и возникают касательные напряжения.

Пусть в некоторой области потока жидкости два бесконечно близких ее слоя, движущихся в направлении оси ж, соприкасаются друг с другом на горизонтальной поверхности с площадью S (рис. 8.14). Опыт показывает, что возникающая на этой площадке сила трения F между слоями тем больше, чем больше площадь S и чем быстрее изменяется в этом месте скорость потока v в направлении, перпендикулярном к площадке S, то есть, в направлении оси у. Быстрота изменения скорости v как функции у характеризуется производной dv/dy.

Окончательно, полученный из опыта результат можно записать в виде:

F = ηS dv/dy. (8.27)

Здесь F - сила, действующая со стороны вышележащего слоя на нижележащий, η - коэффициент пропорциональности, получивший название коэффициента

вязкости жидкости (сокращенно его называют просто вязкостью жидкости). Размерность его вытекает из формулы (8.27) [η] = [m]/[l][t]; единицу измерения принято выражать как 1 Па с. Направление силы F (вправо или влево на рис. 8.14) зависит от того, быстрее или медленнее движется вышележащий слой относительно нижележащего. Из (8.27) следует выражение для касательных напряжений:

τ = η dv/dy.(8.28)

Коэффициент вязкости η имеет разные значения для различных жидкостей, и для определенной жидкости зависит от внешних условий, в первую очередь, от температуры. По своей природе силы трения в жидкости являются силами межмолекулярного взаимодействия, то есть электромагнитными силами, как и силы трения между твердыми телами. Перейдем к рассмотрению задачи о вычислении расхода несжимаемой жидкости, текущей в горизонтальной круглой прямолинейной трубе с постоянной площадью поперечного сечения при заданном перепаде давлений. Расходом называется масса жидкости, протекающая в единицу времени через сечение трубы. Эта задача имеет чрезвычайно большое

Рис. 8.15

практическое значение: организация работы нефтепроводов и даже обычного водопровода безусловно требует ее решения. Будем полагать, что нам заданы длина трубы l, ее радиусR, давления на концах трубыP 1 иP 2 (P 1 >P 2), а также плотность жидкости ρ и ее вязкость η (рис. 8.15).

Наличие сил трения приводит к тому, что на разных расстояниях от центра трубы жидкость течет с разной скоростью. В частности, непосредственно у стенки жидкость должна быть неподвижна, иначе из (8.28) следовали бы бесконечные касательные напряжения. Для вычисления массы жидкости, протекающей ежесекундно через все поперечное сечение трубы мы зобъем это поперечное сечение на бесконечно малые кольцевые площадки с внутренним радиусом г и внешним r+ dr и вычислим сначала расход жидкости через каждое из этих бесконечно малых сечений, в которых скорость

Масса жидкости dm, протекающая ежесекундно через бесконечно малое

поперечное сечение 2nrdr со скоростью v(r), равна

dm/dt = 2πr drρv(r). (8.29)

Полный расход жидкости Q мы получим, проинтегрировав выражение (8.29)

по rот 0 до R:

Q = dm/dt = 2πρ rv(r) dr, (8.30)

где вынесли за знак интегрирования постоянную величину 2πρ. Чтобы вычислить интеграл в (8.30), необходимо знать зависимость скорости жидкости от радиуса, то есть конкретный вид функции v(r). Для определения v(r) мы воспользуемся уже известными нам законами механики. Рассмотрим в некоторый момент времени цилиндрический объем жидкости некоторого произвольного радиуса rи длиныl(рис. 8.15). Заполняющую этот объем жидкость можно рассматривать как совокупность бесконечно малых жидких частиц, образующих систему взаимодействующих материальных точек. При тационарном течении жидкости в трубе все эти материальные точки движутся с независящими от времени скоростями. Следовательно, центр масс всей этой системы также движется с постоянной скоростью. Уравнение для движения центра масс системы материальных точек имеет вид (см. гл. 6)

где М - полная масса системы, V цм - скорость центра масс,

∑F BH - сумма внешних сил, приложенных в выбранный момент времени к рассматриваемой системе. Так как в нашем случае V цм = const, то из (8.31) получаем

Внешние силы - это силы давления F давл действующие на основания выбранного цилиндрического объема, и силы тренияF тр, действующие на боковую поверхность цилиндра со стороны окружающей жидкости - см. (8.27):

Как мы показали, сумма этих сил равна нулю, то есть

Это соотношение после простых преобразований можно записать в виде

Интегрируя обе части написанного выше равенства, получим

Постоянная интегрирования определится из условия, что при r=Rско-

скорость vдолжна обращаться в нуль. Это дает

Как мы видим, скорость жидкости максимальна на оси трубы и при удалении от оси меняется по параболическому закону (см. рис. 8.15).

Подставив (8.32) в (8.30), находим искомый расход жидкости

Это выражение для расхода жидкости называется формулой Пуазейля. Отличительной чертой соотношения (8.33) является сильная зависимость расхода от радиуса трубы: расход пропорционален четвертой степени радиуса.

(Сам Пуазейль формулу для расхода не выводил, а исследовал проблему только экспериментально, изучая движение жидкости в капиллярах). На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения коэффициентов вязкости жидкостей.

Ж
идкости и газы характеризуются плотностью.

-плотность жидкости зависит в общем случае от координат и времени

- плотность – термодинамическая функция и зависит от давления и температуры

Элемент массы можно выразить из определения плотности

Через выделенную площадку можно определить вектор потока жидкости, как количество жидкости, проходящей через перпендикулярно площадке в единицу времени

Вектор площади.

В неком элементарном объёме имеются микрочастицы, а он сам – макрочастица.

Линии, которыми условно можно показать движение жидкости, называются линиями тока.

функция тока .

Ламинарное течение – течение, в котором не происходит перемешивание жидкости и прехлестывания функций тока, то есть слоистое течение.

На рис ламинарное обтекание препятствия – в виде цилиндра

Турбулентное течение – течение, при котором различные слои смешиваются. Типичный пример турбулентного следа при обтекании препятствия.

На рис почти - трубка тока . Для трубки тока линии тока не имеют резких отклонений.

Из определения плотности элементарная масса определяется из выражения

элементарный объем вычисляется как произведение площади поперечного сечения на путь, пройденный жидкостью

Тогда элементарна масса(масса элемента жидкости) находится из соотношения

dm = dV = VSdt

1) Уравнение непрерывности

В самом общем случае направление вектора скорости может не совпадать с направление вектора площади поперечного сечения потока

- вектор площади имеет направление

Объем, занимаемый жидкостью в единицу времени, определяется с учетом правил скалярного произведения векторов

V Scos

Определим вектор плотности тока жидкости

j = V ,j – плотность потока.- количество жидкости, протекающее через единичное сечение в единицу времени

Из закона сохранения массы жидкости

,

m потока = const

Поскольку изменение массы жидкости в выбранном сечении определяется как произведение изменения объема на плотность жидкости, из закона сохранения массы получим

VS = const VS = const

V 1 S 1 =V 2 S 2

т.е. расход в различных сечениях потока - одинаков

2) Теорема Остроградского – Гаусса

Рассмотрим баланс массы жидкости для замкнутого объема

элементарный поток через площадку равен

где j– плотность потока.

1. Постановка задачи

2. Уравнение неразрывности

4. Установившееся ламинарное течение между параллельным плоскостями

5. Течение Куэтта

6. Течение Пуазейля

7. Общий случай течения между параллельными стенками

8. Пример задачи

Список используемой литературы

Постановка задачи

Ламинарные течения, некоторые из которых рассмотрены в данном курсовом проекте, встречаются в разнообразных технических задачах, в частности, в зазорах и малых полостях машин. В особенности при течении таких вязких жидкостей как масло, нефть, различные жидкости для гидропередач образуются устойчивые ламинарные течения, для описания которых надежной базой могут послужить уравнения Навье–Стокса. Течение Гартмана, подобное течению Пуазейля, применяется, к примеру, в МГД-насосах. В этом случае рассматривается плоское стационарное течение электропроводящей жидкости между двумя изолированными пластинами в поперечном магнитном поле.

Задача данного курсового проекта – рассмотрение и нахождение основных характеристик плоского стационарного ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости при параболическом распределении скоростей (течения Пуазейля).

Уравнение неразрывности

Получившиеся выражения можно приравнять, так как они дают одну и ту же величину. При этом следует учесть, что первый интеграл положителен, если через поверхность S вытекает жидкости больше, чем втекает, а второй при этом же условии – отрицателен, так как ввиду сплошности течения в рассматриваемом в рассматриваемом случае плотность уменьшается во времени

По теореме Остроградского – Гаусса:

В векторном анализе сумма частных производных от проекций вектора по одноименным координатам называется дивергенцией или расхождением вектора. В данном случае

поэтому уравнение (1) можно переписать в виде

Так как объем Wпроизвольный, подынтегральная функция равна нулю, т.е.

Уравнение (2) является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости. Соотношение (1) можно рассматривать как интегральную форму уравнения неразрывности.

Если будем рассматривать условие сохранения массы движущегося жидкого объема, то придем также к уравнению (2), которому в этом случае можно придать иной вид.

Поскольку с = с (x, y, z, t) и при движении жидкого объема х = х(t),

у = у (t), z =z (t), то

т. е. уравнение (2) будет иметь вид

гдеdс/dt- полная производная плотности.

Для установившегося движения сжимаемой жидкости∂с/∂t = 0 и. следовательно, из уравнения (2) получаем

Для любого движения несжимаемой жидкости с = const и, следовательно

3. Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

Уравнение движения жидкости в напряжениях:

Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций. Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициент пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости м. Воспользовавшись гипотезой, что в точке жидкости

Внося в уравнение (6) выражения (7), получим

Группируя члены со вторыми производными, деля на с и используя оператор Лапласа, запишем:

Эти уравнения называются уравнениями Навье - Стокса; их используют для описания движений вязких сжимаемых жидкостей и газов.

Решение системы уравнений, описывающей поведение вязкой жидкости, аналитическими методами, в общем случае невозможно. Только в случае некоторых простейших видов течений эти уравнения имеют аналитические решения. Задачи, имеющие практическое значение, решаются в основном с помощью приближенных численных методов на ЭВМ. Основная трудность аналитического решения этих уравнений обусловлена нелинейным членом. В этом параграфе мы рассмотрим простейшие стационарные течения, для которых член тождественно равен нулю. Это течения Куэтта и Пуазейля .

Вызвать движение вязкой жидкости можно двумя способами: с помощью внешних сил (объемных сил или сил давления, например, создав разность давлений на концах горизонтальной трубки или выводя трубку из горизонтального положения), или перемещая стенки, ограничивающие жидкость.

Стационарное течение, вызванное внешними силами давления, называется течением Пуазейля, а течение, вызванное перемещением стенок, - течением Куэтта. Течения, описанные в предыдущем параграфе, являются примерами таких течений.

1 . Плоско-параллельное течение Куэтта. Исследуем распределение скоростей и давлений в течении, изображенном на рис. 19.13а. Связав координатную плоскость XY с нижней пластиной, для краевых условий получим:

. (19.64)

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности примет следующий вид:

(19.65)

а уравнение Навье-Стокса

. (19.66)

Исходя из симметрии течения, можно утверждать, что отлична от нуля только одна составляющая скорости. Очевидно также, что скорость (как и давление) не может зависеть от координаты. В этом случае из уравнения неразрывности (19.65) следует, что =0, то есть не зависит также и от координаты x . Значит, . При этих условиях очевидно, что

. (19.67)

Проектируя уравнение (19.66) на оси X и Z , учитывая, и что в течении Куэтта отсутствует падение давления вдоль течения, то есть p = p (z ), получим

. (19.68)

Второе уравнение дает распределение гидростатического давления в жидкости, которое не имеет никакого влияния на динамику течения, а из первого уравнения получаем закон

Постоянные интегрирования А и В определяются из краевых условий (19.64): . Следовательно, в плоско-параллельном течении Куэтта скорость имеет следующее распределение:

, (19.69)

представленое на рис.19.13 б (линейный профиль скорости). Напряжение трения в жидкости везде одинаково и равно по величине

(19.70)

причем на нижней пластине оно имеет направление течения, а на верхней – противоположное направление. Поэтому для того, чтобы нижняя пластина не двигалась, к ней необходимо приложить силу, где – площадь поверхности пластины.

2 . Плоско-параллельное течение Пуазейля. В этом случае пластины неподвижны, но вдоль оси X поддерживается постоянная разность давлений:

. (19.71)

И снова, исходя из соображений симметрии, пользуясь уравнением неразрывности, получим условие. Так что верны также соотношения (19.67). Проектируя уравнение Навье-Стокса на оси X и Z , получим

. (19.72)

Из первого уравнения получаем. Подставляя его во второе уравнение, получим

(19.73)

левая часть которой зависит только от X , а правая – от z . Это возможно, если левая и правая части уравнения равны одной и той же постоянной А, которая и выражена в (19.73). Пользуясь условием (19.71), получим

(19.74)

где. Интегрирование уравнения (19.73) по z даст

. (19.74)

Постоянные B и C интегрирования определим, исходя из условия «сцепления»

. (19.75)

Определив постоянные B , C и подставив их в (19.74), получим:

. (19.76)

Рис.19.14

Как видим, плоско-параллельное течение Пуазейля характеризуется параболическим профилем поля скоростей (рис. 19.14). Напряжение трения на стенках направлено по оси X и равно.

3 . Течение Пуазейля в круглой цилиндрической трубке. Так как в прямой трубке течение симметрично относительно сои цилиндра, то удобно вдоль этой оси направить ось, а с основанием связать координатную плоскость (рис. 19.15). Течение создается и поддерживается постоянной разностью давлений:

. (19.77)

Понятно, что скорость в цилиндре имеет только составляющую. Благодаря осевой симметрии течения, величины будут независимы от координаты (в этой задаче сила тяжести не учитывается). Из уравнения неразрывности следует, что не может зависеть также от:

. (19.78)

В этом случае

С учетом последних, составляющие и уравнения Навье-Стокса дадут

. (19.79)

Из первого уравнения следует, что, а левая и правая части второго уравнения, будучи зависимы от разных независимых переменных, должны быть равны одной и той же постоянной величине. Из условия (19.77) определим

рис.19.15

Подставляя это в (19.79) и интегрируя по, получим:

Из конечности скорости на оси следует, что, а определяется из краевого условия скорости:

(19.80)

где – радиус цилиндра. Значит, профиль скорости снова является параболическим

(19.81)

в котором скорость достигает максимального значения на оси цилиндра:

Масса жидкости, протекающая по поперечному сечению трубки за единицу времени, будет

(19.82)

то есть прямо пропорциональна произведению четвертой степени радиуса трубки и падения давления и обратно пропорциональна кинетической вязкости жидкости.

Напряжение трения на стенке трубки в данном случае равно

и направлено вдоль течения.

Течения, рассмотренные в данном параграфе, являются идеализациями, так как твердые тела (пластинки, трубка) предполагаются бесконечными. Однако полученные результаты применяются на практике, если, например, длина и ширина пластин намного больше расстояния между ними или если длина цилиндра намного больше его радиуса. Эксперименты, проведенные в подобных цилиндрах, привели Хагена (1839) и Пуазейля (1840) к результату (19.82), которое впоследствии было теоретически получено Стоксом (1845). Существенно, что Хаген утверждал также, что результат (19.82) имеет место в опыте при небольших скоростях и не очень маленьких значениях вязкости.

Постановка задачи

Рассматривается установившееся течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения под действием постоянной разности давлений . Если предположить, что течение будет ламинарным и одномерным (иметь только компоненту скорости, направленную вдоль канала), то уравнение решается аналитически, и для скорости получается параболический профиль (часто называемый профилем Пуазёйля ) - распределение скорости в зависимости от расстояния до оси канала:

• v - скорость жидкости вдоль трубопровода, м/с;
• r - расстояние от оси трубопровода, м;
• p 1 − p
• l - длина трубы, м.

Так как такой же профиль (в соответствующих обозначениях) имеет скорость при течении между двумя бесконечными параллельными плоскостями, то такое течение также называют течением Пуазёйля.

Закон Пуазёйля (Хагена - Пуазёйля)

Уравнение или закон Пуазёйля (закон Хагена - Пуазёйля или закон Гагена - Пуазёйля) - закон, определяющий расход жидкости при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубе круглого сечения.

Сформулирован впервые Готтхильфом Хагеном (нем. Gotthilf Hagen , иногда Гаген ) в 1839 году и вскоре повторно выведен Ж. Л. Пуазёйлем (англ.) (фр. J. L. Poiseuille ) в 1840 году . Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки и четвёртой степени диаметра трубы:

• Q - расход жидкости в трубопроводе, м³/с;
• d - диаметр трубопровода, м;
• r - радиус трубопровода, м;
• p 1 − p 2 - разность давлений на входе и на выходе из трубы, Па;
• μ - вязкость жидкости, Н·с/м²;
• l - длина трубы, м.

Закон Пуазёйля примени́м только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка, необходимую для развития ламинарного течения в трубке.

Свойства

• Течение Пуазёйля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
• В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

См. также

• Течение Куэтта
• Течение Куэтта - Тейлора

Литература

• Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: ГХИ, - 1961. - 831 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Течение Пуазейля" в других словарях:

Параболическое распределение скорости при течении Пуазейля. Пропеллеры показывают, что у этого течения ненулевая завихрённость. Течение Пуазёйля ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между… … Википедия

Механика сплошных сред … Википедия

Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса … Википедия