Принцип суперпозиции для напряженности. Принцип суперпозиции электрических. Пример решения задачи

Рассмотрим метод определения значения и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов q 1 , q 2 , ..., Q n .

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил (см. §6), т.е. результирующая сила F , действующая со стороны поля на пробный заряд Q 0 , равна векторной сумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q i:

Согласно (79.1), F =Q 0 E и F i ,=Q 0 E i , где Е -напряженность результирующего поля, а Е i - напряженность поля, создаваемого зарядом Q i . Подставляя последние выражения в (80.1), получим

Формула (80.2) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+ Q, -Q ), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l . Вектор

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда

| Q | на плечо l , называется электрическим моментом диполя р или дипольным моментом (рис. 122).

Согласно принципу суперпозиции (80.2), напряженность Е поля диполя в произвольной точке

Е =Е + + Е - ,

где Е + и Е - - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.

1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А (рис. 123). Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна

Е A =Е + -Е - .

Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через л, на основании формулы (79.2) для вакуума можно записать

Согласно определению диполя, l /2<

2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины, в точке В (рис. 123). Точка В равноудалена от зарядов, поэтому

где r " - расстояние от точки В до середины плеча диполя. Из подобия равнобед-

ренных треугольников, опирающихся плечо диполя и вектор ев, получим

Е B =Е + l / r ". (80.5)

Подставив в выражение (80.5) значение (80.4), получим

Вектор Е B имеет направление, противоположное электрическому моменту диполя (вектор р направлен от отрицательного заряда к положительному).

Рассмотрим метод определения модуля и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов Q 1 , Q 2 , …,Q n .

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил (см. § 6), т. е. результирующая силаF, действующая со стороны поля на пробный заряд Q 0 , равна векторной сумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Qi:

Согласно (79.1), и , где Е-напряженность результирующего поля, а Еi - напряженность поля, создаваемого зарядом Qi ;. Подставляя последние выражения в (80.1), получаем

(80.2)

Формула (80.2) выражаетпринцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя.Электрический диполь - система двух равных по модулю разно именных точечных зарядов (+Q, -Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называетсяплечом диполя 1. Вектор

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда |Q | на плечо l , называетсяэлектрическим моментом диполя илидипольным моментом (рис. 122).

Рис. 122

где Е+ и Е- - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.

1. Напряженность поля на продолжении оси диполя в точке А (рис. 123). Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна

Рис. 123

Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через г, на основании формулы (79.2) для вакуума можно записать

Принцип суперпозиции (наложения) полей формулируется так:

Если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля , напряженности которых и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна: .

Принцип суперпозиции полей справедлив для случая, когда поля, созданные несколькими различными зарядами, не оказывают никакого влияния друг на друга, т. е. ведут себя так, как будто других полей нет. Опыт показывает, что для полей обычных интенсивностей, встречающихся в природе, это имеет место в действительности.

Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряжен-ности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно воспользоваться выражением напряженности поля точечного заряда.

На рисунке ниже показано, как в точке A определяется напряжен-ность поля , созданная двумя точечными зарядами q 1 и q 2 .

Силовые линии электрического поля.

Электрическое поле в пространстве принято представлять силовыми линиями. Понятие о силовых линиях ввел М. Фарадей при исследовании магнетизма. Затем это понятие было развито Дж. Максвеллом в исследованиях по электромагнетизму.

Силовая линия, или линия напряженности электрического поля, — это линия, касательная к которой и каждой ее точке совпадает с направлением силы, действующей на положительный точечный заряд, находящийся в этой точке поля.

На рисунках ниже изображены линии напряженности положительно заряженного шарика (рис. 1); двух разноименно заряженных шариков (рис. 2); двух одноименно заряженных ша-риков (рис. 3) и двух пластин, заряженных разными по знаку, но одинаковыми по абсолютной величине зарядами (рис. 4).

Линии напряженности на последнем рисунке почти параллельны в пространстве между пластинами, и плотность их одинакова. Это говорит о том, что поле в этой области пространства одно-родно. Однородным называется электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства.

В электростатическом поле силовые линии не замкнуты, они всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах. Они нигде не пересекаются, пересе-чение силовых линий говорило бы о неопределенности направления напряженности поля в точке пересечения. Плотность силовых линий больше вблизи заряженных тел, где напряженность поля больше.

Поле заряженного шара.

Напряженность поля заряженного про-водящего шара на расстоянии от центра шара , превышающем его радиус r ≥ R . определяется по той же формуле, что и поля точечного заряда . Об этом свидетельствует распределение силовых линий (рис. а ), аналогичное распределению линий напряженности то-чечного заряда (рис. б ).

Заряд шара распределен равномерно по его поверхности. Внутри проводящего шара напряженность поля равна нулю.

Электростатическое поле - поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов).

Электрическое поле представляет собой особый вид материи, связанный с электрическими зарядами и передающий действия зарядов друг на друга.

Если в пространстве имеется система заряженных тел, то в каждой точке этого пространства существует силовое электрическое поле. Оно определяется через силу, действующую на пробный заряд, помещённый в это поле. Пробный заряд должен быть малым, чтобы не повлиять на характеристику электростатического поля.

Напряжённость электри́ческого по́ля - векторная физическая величина, характеризующаяэлектрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда :

Из этого определения видно, почему напряженность электрического поля иногда называется силовой характеристикой электрического поля (действительно, всё отличие от вектора силы, действующей на заряженную частицу, только в постоянном множителе).

В каждой точке пространства в данный момент времени существует свое значение вектора (вообще говоря - разное в разных точках пространства), таким образом, - это векторное поле. Формально это выражается в записи

представляющей напряженность электрического поля как функцию пространственных координат (и времени, т.к. может меняться со временем). Это поле вместе с полем вектора магнитной индукции представляет собой электромагнитное поле , и законы, которым оно подчиняется, есть предмет электродинамики.

Напряжённость электрического поля в СИ измеряется в вольтах на метр [В/м] или в ньютонах на кулон [Н/Кл].

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности N E .

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным (рис.13.4).

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению(рис.13.5).

где - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

Так как , то

где - проекция вектора на нормаль и к поверхности dS.

При́нцип суперпози́ции - один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:

результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.

Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть сумма напряженностей полей отдельных зарядов .

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:

Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.

Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий .

Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.

Взаимодействие электрических зарядов осуществляется через особый вид материи, порождаемой заряженными частицами - электрическое поле . Электрические заряды изменяют свойства окружающего их пространства. Проявляется это в том, что на помещенный вблизи заряженного тела другой заряд (назовем его пробным ) действует сила (рис. 2). По величине этой силы можно судить об «интенсивности» поля, созданного зарядом q . Для того, чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала электрическое поле именно в данной точке пространства, пробный заряд, очевидно, должен быть точечным .

Рисунок 2

Поместив пробный заряд q пр на некотором расстоянии r от заряда q (рис. 2), мы обнаружим, что на него действует сила, величина которой зависит от величины взятого пробного заряда q пр .

Л
егко, однако, видеть, что для всех пробных зарядов отношениеF / q пр будет одно и тоже и зависит лишь от величин q и r , определяющих поле заряда q в данной точке r . Естественно, поэтому, принять это отношение за величину, характеризующую «интенсивность» или, как говорят, напряженность электрического поля (в данном случае поля точечного заряда ):

.

Таким образом, напряженность электрического поля является его силовой характеристикой . Численно она равна силе, действующий на пробный заряд q пр = +1, помещенный в данное поле.

Напряженность поля – вектор . Его направление совпадает с направлением вектора силы , действующей на точечный заряд, помещенный в это поле. Следовательно, если в электрическое поле напряженностью поместить точечный зарядq , то на него будет действовать сила:

Размерность напряженности электрического поля в СИ:
.

Электрическое поле удобно изображать с помощью силовых линий . Силовая линия – линия, вектор касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля в этой точке. Принято считать, что силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность) и нигде не прерываются.

Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции (сложения), который можно сформулировать следующим образом: напряженность электрического поля, созданного в некоторой точке пространства системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, созданных в этой же точке пространства каждым из зарядов в отдельности:

.

1. Работа сил электростатического поля, потенциал. Консервативность электростатических сил, связь между е и . Потенциал точечного и распределенного заряда.

Как следует из закона Кулона, сила, действующая на точечный заряд q в электрическом поле, созданном другими зарядами, является центральной . Напомним, что центральной называется сила, линия действия которой направлена по радиус-вектору, соединяющему некоторую неподвижную точку О (центр поля) с любой точкой траектории. Из «Механики» известно, что все центральные силы являются потенциальными . Работа этих сил не зависит от формы пути перемещения тела, на которое они действуют, и равна нулю по любому замкнутому контуру (пути перемещения). В применении к электростатическому полю:

.

То есть, работа сил поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 равна по величине и противоположна по знаку работе по перемещению заряда из точки 2 в точку 1, независимо формы пути перемещения. Следовательно, работа сил поля по перемещению заряда может быть представлена разностью потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути перемещения:

.

Введем потенциал электростатического поля φ , задав его как отношение:

, (размерность в СИ:
).

Тогда работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 будет:

Разность потенциалов
называется электрическим напряжением. Размерность напряжения, как и потенциала, [U] = B.

Считается, что на бесконечности электрические поля отсутствуют, и значит
. Это позволяет датьопределение потенциала как работы, которую нужно совершить, чтобы переместить заряд q = +1 из бесконечности в данную точку пространства. Таким образом, потенциал электрического поля является его энергетической характеристикой.